المضاعف المشترك الاصغر

المضاعف المشترك الاصغر هو موضوع مقالتنا اليوم من مدونة علم حيث سنتعرف على طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر، وسنقدم لك عزيزي القارئ تطبيقات وأمثلة تساعدك على فهمه.

ما هو مفهوم المضاعف المشترك الاصغر؟

يعرف بالإنجليزية: Least Common Multiple واختصارا يُطلق عليه رمز (LCM) أو (م.م.أ)، و يكون العامل المشترك الأصغر أوالأدنى لأي عددين هو أصغر من مضاعفات العددين ، و يقبل القسمة على العددين معاً وبشكل عام مضاعفات الأعداد هي الأعداد التي تقبل القسمة على العدد ويكون باقي القسمة مساويا لـ 0،

ما هي طريقة إيجاد المضاعف المشترك الاصغر؟

الطريقة التقليدية

تعد هذه الطريقة من الطرق القديمة والبدائية، حيث يتم فيها العثور على المضاعف المشترك الأصغر من خلال كتابة مضاعفات كل عدد من الأعداد على حدة على شكل قائمة، وبعد ذلك يتم إيجاد أصغر مضاعف مشترك بينها، وعادة يكون من الصعب تطبيق هذه الطريقة إلا عندما تكون الأعداد صغيرة.

فمثلاً لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 4، و6، يجب في البداية أن نكتب مضاعفات كل عدد على حدة ثم نعثر على أصغر مضاعف مشترك بينهما.

وهذا المثال يوضّح ذلك:

مضاعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، ………… مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، ……….. وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 6، و 4 هو 12.

طريقة التحليل إلى العوامل الأولية

يتم في هذه الطريقة تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية، ويجب الأخذ بالاعتبارعدد المرات التي تكرر فيها كل عامل، مثلا :

لإيجاد المضاعف المشترك الاصغر بين الأعداد 16، 25، 60

نستخدم طريقة التحليل إلى العوامل نتبع ما يلي:

نقوم بتحليل كل عدد إلى عوامله الأولية

• عوامل العدد 16: 2×2×2×2 =2⁴
• عوامل العدد 25 : 5×5 = 5².
• عوامل العدد 60: 2×2×3×5 = 2²×3×5

نلاحظ عزيزي القارئ أن أكثر مرات تكرر فيها العدد 2 هو 4 مرات

أي أنه ظهر مرفوعاً للأس أربعة ، وظهر مرفوعاً للأس اثنين والأكبر بينهما هو الأس أربعة ، لذلك يجب أخذ العدد 2 مرفوعاً للأس أربعة ، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.

أكثر مرات تكرر فيها العدد 5 هو مرتين، أي أنه ظهر مرفوعاً للأس اثنين ، كما ظهر مرفوعاً للأس واحد، والأكبر بينهما هو الأس اثنين لذلك يجب أخذ العدد 5 مرفوعاً للأس اثنين، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.

العدد 3 لم يظهر متكرراً أكثر من مرة واحدة، لهذا السبب يجب أخذ العدد 3 مرفوعاً للأس واحد، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.

وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر بين هذه الأعداد يساوي حاصل ضرب الأعداد التي تم وضعها جانباً: 52×24×3= 1200.

تطبيقات على المضاعف المشترك الاصغر

المثال الأول

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 12، 16،

24 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل الأولية؟

الحل

نقوم أولا بتحليل كل عدد إلى عوامله الأولية:

عوامل العدد 12: 2×2×3 = 2²×3.

عوامل العدد 16: 2×2×2×2=2⁴.

عوامل العدد 24: 2×2×2×3 = 2³×3.

المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو:

24× 3 = 48 وذلك لأن أكبر تكرار للعدد 2 هو أربع مرات، وأكبر تكرار للعدد 3 هو مرة واحدة.

المثال الثاني

أوجد المضاعف المشترك الاصغر للعددين 36، 48 بطريقة العوامل الأولية؟

الحل:

نكتب أولاً العوامل الأولية لكلا العددين بعد أن تقوم بتحليلهما باستخدام طريقة من الطرق التي تعرفنا عليها في السطور السابقة: 36: 3 × 3 ×2 × 2

48: 3 × 2 × 2 × 2 × 2

الأزواج المتشابهة هي: (3،3) ،(2،2)، (2،2).

تُضرب العوامل الأولية الواردة في الأزواج المتشابهة جميعها: 3×3×2×2×2×2 = 144.

يكون المضاعف المشترك الأصغر للعددين 36، 48 هو 144.

المثال الثالث

أوجد المضاعف المشترك الاصغر للعددين 12، 20 بطريقة المضاعفات؟

الحل:

تُكتب مضاعفات كل من العددين كما يلي :

12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120.

20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180.

يُوجد أول عدد مشترك من مضاعفات الـ 12، 20، وهو60

يكون المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12، 20 هو 60.

اقرأ أيضاً: مساحة شبه المنحرف

ماهي خصائص المضاعف المشترك الاصغر؟

يتميز المضاعف المشترك الأصغر بخصائص عديدة من أشهرها :

• المضاعف المشترك الأصغر لأي مجموعة من الأرقام يقبل القسمة على العامل المشترك الأكبر بينها.
• المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأعداد يكون أكبر من أو يساوي كل عنصر من عناصرها، ولا يُمكن أن يقل عن أي عدد فيها.
• إذا كان الرقمين أحدهما أحد أضعاف الآخر، يكون الأكبر بينهما هو المضاعف المشترك الأصغر.
• المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأعداد الأوليّة لا يُمكن أن يساوي واحد.

وأخيراً أتمنى عزيزي القارئ أن أكون قد وفقت في تبسيط موضوع مقالتنا المضاعف المشترك الاصغر.