نظرية فيثاغورس

إن نظرية فيثاغورس التي يشار إليها أحيانًا أيضًا بنظرية فيثاغورس هي الصيغة الأكثر أهمية لفرع الهندسة  طبقًا لفيثاغورس ، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي المثلث الآخرين  في هذا الدرس ، ستتعرف على نظرية فيثاغورس ومشتقاتها ومعادلاتها متبوعة بمسائل العالم الحقيقي التي تم حلها في مثلث ومربعات نظرية فيثاغورس.

ما هي ؟

تنص نظرية فيثاغورس على أنه إذا كان المثلث قائم الزاوية (90 درجة) ، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين .

في المثلث المعطى ABC ، لدينا BC ² = AB ² + AC ²   هنا ، AB هو القاعدة ، AC هو الارتفاع أو الارتفاع ، و BC هو الوتر.

معادلتها

تساعدك معادلة نظرية فيثاغورس على حل مسائل المثلث القائم الزاوية باستخدام معادلة فيثاغورس: ج ² = أ ² + ب ² (‘ج’ = وتر المثلث القائم بينما ‘أ’ و ‘ب’ هما الرجلين الأخريين )  وبالتالي فإن أي مثلث بزاوية واحدة تساوي 90 درجة سيكون قادرًا على إنتاج مثلث فيثاغورس و يمكننا استخدام معادلة فيثاغورس هذه: ج ² = أ ² + ب ² هناك.

تاريخها

تم تقديم نظرية فيثاغورس من قبل عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس من ساموس و كان فيلسوفًا يونانيًا أيونيًا قديمًا أنشأ مجموعة من علماء الرياضيات الذين يعملون دينياً على الأرقام ويعيشون مثل الرهبان و أخيرًا ، ذكر عالم الرياضيات اليوناني النظرية ومن ثم سميت باسمه باسم “نظرية فيثاغورس” و على الرغم من أنه تم تقديمه منذ عدة قرون ، فإن تطبيقه في العصر الحالي إلزامي للتعامل مع المواقف البراغماتية.

على الرغم من تقديم فيثاغورس للنظرية ونشرها ، إلا أن هناك أدلة كافية تثبت وجودها في الحضارات الأخرى ، قبل 1000 عام من ولادة فيثاغورس. 

يعود أقدم دليل معروف إلى ما بين القرنين العشرين والسادس عشر قبل الميلاد في العصر البابلي القديم.

صيغتها

تنص صيغة نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية ABC ، ​​يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربع الساقين الأخريين.

 إذا كانت AB و BC و AC هي أضلاع المثلث ، إذن: BC ² = AB ² + AC ² . بينما إذا كانت a و b و c هي أضلاع المثلث ، فإن c ² = a ² + b ² . في هذه الحالة ، يمكننا القول إن AB هو القاعدة ، و AC هو الارتفاع أو الارتفاع ، و BC هو الوتر.

إثباتها

يمكن إثبات نظرية فيثاغورس بعدة طرق: بعض الطرق الأكثر شيوعًا والأكثر استخدامًا هي استخدام طريقة البرهان الجبرية واستخدام طريقة المثلثات المتشابهة لحلها لذلك دعونا نلقي نظرة على كلتا الطريقتين بشكل فردي لفهم إثبات هذه النظرية.

•     *الطريقة الجبرية لإثبات نظرية فيثاغورس
•     *إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام المثلثات المتشابهة

الطريقة الجبرية لإثباتها

سيساعدنا إثبات الطريقة الجبرية لنظرية فيثاغورس في استنباط إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام قيم أ ، ب ، ج (قيم قياسات أطوال الأضلاع المقابلة للأضلاع BC و AC و AB على التوالي ) لنفترض أربعة مثلثات قائمة ABC حيث b هي القاعدة ، و a الارتفاع   و c هو الوتر.

 رتب هذه المثلثات الأربعة القائمة الزاوية في المربع الآتي ، والذي يكون ضلعه أ + ب.

مساحة المربع المتكون من خلال ترتيب المثلثات الأربعة هي c ²   مساحة المربع مع الضلع (أ + ب) = مساحة 4 مثلثات + مساحة المربع مع ضلع ج  هذا يعني (أ + ب) ² = 4 × 1/2 × (أ × ب) + ج ² ، أ ² + ب ² + ² أب = ² أب + ج ²  لذلك ، أ ² + ب ² = ج ²  ومن ثم ثبت.

اقرأ أيضاً: أهم المدن الداخليه في الوطن العربي

إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام المثلثات المتشابهة

يُقال إن مثلثين متشابهين إذا كانت زاياهما المتناظرة ذات قياسات متساوية وكانت أضلاعهما المقابلة في نفس النسبة  أيضًا ، إذا كانت الزوايا بنفس القياس ، فيمكننا القول باستخدام قانون الجيب ، أن الأضلاع المتناظرة ستكون أيضًا بنفس النسبة  ومن ثم ، فإن الزوايا المتناظرة في مثلثات متشابهة ستقودنا إلى نسب متساوية لأطوال الأضلاع.

في المثلث ABD والمثلث ACB:

∠A = ∠A  عام

∠ADB = ∠ABC  كلاهما زوايا قائمة

وبالتالي ، فإن المثلث ABD والمثلث ACB متساوي الزوايا ، مما يعني أنهما متشابهان بمعيار التشابه AA  وبالمثل ، يمكننا إثبات أن المثلث BCD مشابه لمثلث ACB  نظرًا لأن المثلثين ABD و ACB متشابهان ، لدينا AD / AB = AB / AC وبالتالي يمكننا القول أن AD × AC = AB ²   وبالمثل ، فإن المثلثات BCD و ACB متشابهة  هذا يعطينا CD / BC = BC / AC وبالتالي ، يمكننا أيضًا القول إن CD × AC = BC ²   الآن ، باستخدام معادلتَي التشابه هاتين ، يمكننا القول إن AC ² = AB ² + BC ²   ومن ثم ثبت.

مثلثات فيثاغورس

تتبع المثلثات القائمة قاعدة نظرية فيثاغورس وتسمى مثلثات نظرية فيثاغورس  يُطلق على طول الأضلاع الثلاثة مجتمعة ثلاثة أضعاف فيثاغورس   على سبيل المثال ، يمكن استدعاء 3 و 4 و 5 كواحدة من مجموعات مثل هذه المثلثات  هناك الكثير من المثلثات القائمة الزاوية والتي تسمى مثلثات فيثاغورس  تتبع كل هذه المثلثات قاعدة مشتركة واحدة: ج ² = أ ² + ب ² .

مربعات نظرية فيثاغورس

وفقًا لنظرية فيثاغورس Hypotenuse ² = عمودي ² + قاعدة ² أو c ² = a ² + b ²   مما يبرر أيضًا أن مساحة المربع المبنية على وتر المثلث الأيمن ستكون مساوية لمجموع مساحة المربعات المبنية على الجانبين الآخرين وتعرف هذه المربعات بمربعات فيثاغورس.

تطبيقات نظرية فيثاغورس

على الرغم من أنه من الضروري تعلم المفاهيم الأساسية مثل عبارات النظرية وتمثيلها الرياضي ، إلا أننا سنكون أكثر فضولًا لفهم تطبيقات نظرية فيثاغورس التي نواجهها في مواقف الحياة اليومية.

فيما يلي بعض تطبيقات نظرية فيثاغورس

• المجالات الهندسية والإنشائية

يستخدم معظم المهندسين المعماريين تقنية نظرية فيثاغورس للعثور على القيمة وكذلك عندما يكون الطول أو العرض معروفين ، فمن السهل جدًا حساب قطر قطاع معين  يستخدم بشكل رئيسي في بعدين في المجالات الهندسية.

• التعرف على الوجه في كاميرات المراقبة

أصبح التعرف على الوجوه أكثر دراية في الوقت الحاضر ، فهو يقلل من اضطراب التحقيق في الجرائم في المجالات الأمنية  إنه يخضع لمفهوم نظرية فيثاغورس أي المسافة بين كاميرا الأمان والمكان الذي يُلاحظ فيه الشخص يتم عرضها جيدًا من خلال العدسة باستخدام المفهوم.

• النجارة والتصميم الداخلي

كما يشير المفهوم الرئيسي إلى ما إذا كان يمكن تحويل الورق المقوى المربّع إلى مثلث بسهولة عن طريق القطع قطريًا ، فيمكن بسهولة تطبيق مفهوم فيثاغورس  تتم معظم الأعمال الخشبية وفقًا للإستراتيجية التي تسهل على المصممين المضي قدمًا.

• التنقل

إنها حقيقة مدهشة للغاية ولكن الأشخاص الذين يسافرون في البحر يستخدمون هذه التقنية للعثور على أقصر مسافة وطريق للمضي قدمًا إلى أماكنهم المعنية.

• المسح

عادة ، يستخدم المساحون هذه التقنية للعثور على المنطقة الجبلية شديدة الانحدار ، مع معرفة المنطقة الأفقية سيكون من السهل عليهم حساب الباقي باستخدام مفهوم فيثاغورس  يمكن رؤية المسافة الثابتة والمسافة المتغيرة من خلال التلسكوب بواسطة المساح مما يجعل المسار أسهل.